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By A.K. Boiarchuk ; traducido del ruso bajo la dirección de Viktoria O. Malishenko y Guillermo Peña Feria ; revisión científica de Jairo Correa Rodríguez.

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H'mmm Sea K C C un compacto arbitrario que no contiene los ceros del seno. Para todo z E K obtenemos que ln sen 2 00 t h(z) + ln z + / / z \ (1 ~ mr} * (ln — j| =— 00 dz + z nir — ln senz = ctg z ~ 0 0 / 1 - ) h'(z)+-+Y! ( — + z »=—00 \z - n-K nir' / x Comparando la igualdad obtenida con el desarrollo de ctg z en fracciones simples (v. fórmula (11), p. 3), obtenemos que h(z) — const. Así, 00 zf(nir) sen z n=-oo sen z A rpartir de lim — — = 1 hallamos que C — 1. 5. Género y orden de una función entera Sea / una función entera y (a n ) una sucesión de ceros suyos tal que an ^ 0, lim an = 00 y la serie (2), p.

A partir de la estimación 0 d< f / (m 2tt i j 2ir(r 7 ^ 1 ] m MCI resulta que para que se cumpla la expresión (2) es suficiente que lim [ |/(0I \D(I = M, I — • O O M < oo. » Demostremos ahora que podemos obtener un desarrollo de la función / en fracciones simples imponiendo condiciones menos rigurosas que (2). • Supongamos que existe un número entero no negativo p tal que i j f /(0 m-»oo 27TÍ J rm C^ÍC-*) < - o, W

Sea z un punto fijo localizado en el interior de 7. Consideremos la función ( *-* ¿ 9k(0 k—Q Esta función es racional en C, el punto del infinito es un cero de al menos segundo orden y, por consiguiente, su residuo en el punto del infinito es igual a cero. Aplicando el teorema de Cauchy para regiones múltiplemente conexas y la definición de residuo en el punto del infinito, obtenemos m X > ( 0 ¿ > ( 0 J _ 2ni J í k~0 C w d{ 2Tri J rr C w w E ak(o fc-o res — 00 C - z n = 0 i (I* = = (c e G: ICI = .

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